1 对于排列公式的理解

  1. 步,从 n 个元素中选取 1 个,有 n 种选择方式
  2. 步,从剩下的 n - 1 个元素中选取 1 个,有 n - 1 种选择方式
  3. 步,从剩下的 n - 2 个元素中选取 1 个,有 n - 2 种选择方式
  4. k 步,从剩下的 n - (k - 1) 个元素中选取 1 个,有 n - (k - 1) 种选择方式

那么将这 k 个步骤结合到一起,就有 n(n - 1)(n - 2)···(n - k + 1) 种选择,写成公式也就是 A(n, k) = n!/(n - k)!

表示的含义就是对于 A(n, k) 会产生 n!/(n - k)! 个排列

2 对于组合公式的理解

对于组合数,我们只需要去除所有排列中元素相同的排列,使每种元素相同的排列组只剩下一个排列即可,所以最关键的问题也就在于确定其中每种元素相同的排列组包含的排列个数。 A(n, k) 会产生 n!/(n - k)! 个排列,对于其中挑选出来的 k 个元素,可以构成 A(k, k) 个排列,其中每个排列的构成元素都是相同的,所以组合公式 C(n, k) = A(n, k) / A(k, k) = n! / (k!(n-k)!)

3 简单的排列组合问题

下面的问题抽象出来就是有一个被挑选的集合为 n,需要挑出来 k 个元素,如果挑选元素的顺序对结果有影响,那么就是 A(n, k),如果挑选元素的顺序对结果没有影响,那么就是 C(n, k)

3.1 排列问题

给 8 个人颁奖,总共 3 个奖,金牌、银牌和铜牌,那么这里颁奖的顺序很重要,意味着拿到的奖的类型不同,所以是 A(8, 3)

有 5 个固定的不同的球放在不同的位置,现在有另外三个不同的球需要插入到其中,那么此时有多少种插法。答案是 A(8, 3),因为这个问题可以看作是有 8 个位置来放球,现在需要挑出 8 个位置中的 3 个位置然后按照不同的顺序将球放进去,然后另外五个球按照依次的顺序填入进去。

3.2 组合问题

给 8 个人颁奖,总共 3 个奖,这三个奖是一模一样的奖状,那么这里便不用在意颁奖的顺序,所以 C(8, 3)

有 5 个固定的不同的球放在不同的位置,现在有另外三个相同的球需要插入到其中,那么此时有多少种插法。答案是 C(8, 3),因为这个问题可以看作是有 8 个位置来放球,现在需要挑出 8 个位置中的 3 个位置然后将球放进去,由于球是相同的,没有顺序关系,然后另外五个球按照依次的顺序填入进去。

参考文章

  1. 5 分钟彻底了解排列组合